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By F. Tölke

Die Bedeutung der Theta-Funktionen liegt fur die Anwendung unter anderem darin, dass sie der FOURIERSchen Differentialgleichung genugen, die auch als Warmeleitungs-, Diffusions- oder Konsolidationsgleichung bezeichnet wird. Demzufolge wurden die Theta-Funktionen aus der FOURIERschen Differentialgleichung heraus entwickelt, used to be in Abweichung von der ublichen Darstellungsweise die Einfuhrung eines reellen, die Zeit reprasentierenden Parameters im Gefolge hatte. Es erwies sich hierbei als zweckmassig, den vier schon von JACOBI eingefuhrten Theta-Funk tionen noch zwei weitere Theta-Funktionen zur Seite zu stellen. Auf diese Weise liess sich die Theorie der WEIERSTRAssschen cP-Funktionen auf zwei durch zweite logarithmische Ableitungen von Theta-Funktionen darstellbaren Grundfunktionen aufbauen. Es conflict naheliegend, entsprechend den sechs Theta-Funktionen sechs spezielle einparametrige WEIERSTRAsssche cP-Funktionen ein zufuhren. Hierdurch konnte, wie in Band III gezeigt werden wird, die Theorie der JAcoBISchen elliptischen Funktionen durch Einbau weiterer Funktionen erweitert werden. Die fur die Theorie der elliptischen Funktionen benotigten Parameterfunktionen bilden ebenfalls Gegenstand dieses Buches. Den Herren Dipl. -Ing. BEEKMANN, Dipl. -Ing. eARL, Dr. -Ing. FEUERLEIN, Dipl. -Ing. FLAMM, Dr. -Ing. GIESECKE, Dipl. -Ing. HAFNER, Dipl. -Ing. HUTH, Dipl. -Ing. KLOPFER, Dipl. -Ing. REI NECKE, Dipl. -Ing. RIEDEL, Dipl. -Ing. SCHLENKER, Dipl. -Ing. SCHOLTZ, Dipl. -Ing. SCHURGER und Dipl. -Ing. TOLZEL danke ich fur die Unterstutzung bei der Anfertigung der Abbildungen. Ferner danke ich Fraulein Dr. -Ing. Dipl. -Math. GOESER fur die Durchfuhrung der programmierungs technischen Arbeiten bei der Darstellung der 35 konformen Abbildungen. Die Herren Priv. -Doz. Dr. -Ing. GIESECKE und Dipl. -I

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Hiernach ist in der Tat auch die rechte der beiden Funktionalgleichungen für f}2(C, u) erfüllt, womit die Zulässigkeit des Ausgangsansatzes bewiesen ist. Mit Hilfe der Substitutionsgleichungen (22), (23) und (25) kann man unmittelbar zu entsprechenden Produktdarstellungen für die übrigen Theta-Funktionen gelangen. Die Darstellungen lauten: 00 111(C, ,,) = n (1 - e- 2n ""+2"i C) (1 - e-<2n-2l""-2"'C), +c(,,) e"'C n (1 + e- 2nn "+2"") (1 + e-<2n-2l""-2"'C), + c(,,) e""/4 n (1 + e-<2n-l'"'' +2"'C) (1 + e-<2n-ll""-2"'C), +c(x) e""/4 n (1 - e-<2n-1lnx+2",C) (1 - e-<2n-ll""-2"").

X)] 402 (0, x) 0s(O, x) ± 05(CO' x) + + oHC + i. x)] [OHC t. + ... 0,(',1') =C+ O~"(O,x) ~+ O~""(O,x) 0;(0, x) 3! O~(O, x) 5! O~(O, x) fJ6 (C, x) = 1 0 6 (0,1') + {};;'(O, x) i:.. + 2! {}6(O, x) {}~"'(O, x) ~ 0 6(0,1') 4! + .... n O~(O,x). Bezüglich der auf den rechten Seiten von (144) auftretenden Nullwertfunktionen kann auf das vierte Kapitel und insbesondere auf die GIn. (533) verwiesen werden. In Analogie zu (70) und (71) folgen für C = 0 aus den partiellen Differentialgleichungen (137) die Nullwertbeziehungen fJ;" (0, x) = Sn fJ;'(O, x), O~' (0, x) = Sn O~(O, x).

C--+O 1 '--+0 Die Gleichsetzung beider Ausdrücke liefert 11~ (0, x) = 2n c(x) 1 n (1 00 1 e- 2""")2. Ferner folgt durch Nullsetzen von C in den drei unteren Produktentwicklungen 112(0, ,,) = c(x) n (1 + 00 1 e- snn ,,) (1 + e-

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